Dúvida
Author:
Rui Carneiro
Last Updated:
11 anni fa
License:
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract:
.
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\documentclass[a4paper]{article}
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\title{Dúvida}
\author{Proposta 27, Pg 173}
\begin{document}
\maketitle
\setcounter{secnumdepth}{0}
\section{Alínea 1}
Sabemos que o mínimo do domínio de $f$ é $0$.
O enunciado diz-nos que a área por baixo do gráfico da função $f$ é dado pela função $A$. Portanto:
$$A(x) = \int_0^x f(x)dx \Leftrightarrow \int_0^x f(x)dx = \ln{\left(1+\sin^2{\frac{x}{2}}\right)}$$
Derivando ambos os lados,
$$ \frac{d}{dx} \int_0^x f(x)dx = \frac{d}{dx} \left[\ln{\left(1+\sin^2{\frac{x}{2}}\right)}\right] = \frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{1+\sin^2{\frac{x}{2}}} $$
Mas, pelo teorema fundamental do cálculo, o lado esquerdo é simplesmente:
$$ f(x) - f(0) = \frac{d}{dx} \int_0^x f(x)dx$$
Logo, como pela figura se observa claramente que $f(0)=0$, inferimos:
$$f(x) = \frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{1+\sin^2{\frac{x}{2}}} $$\\
Temos agora grande parte do problema resolvido. Agora só precisamos de calcular:
$$ \int_{\pi/3}^\pi f(x)dx = \int_{\pi/3}^\pi \frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{1+\sin^2{\frac{x}{2}}}dx =
\int_{\pi/3}^\pi
\frac{2\cos{\frac{x}{2}}}{(\sin{\frac{x}{2}})^{-1}+\sin{\frac{x}{2}}}dx $$\\
Onde no último passo dividimos ambos os termos da fração por $\sin{(x/2)}$, assumindo que $x\neq0$, pois só nos interessa agora o intervalo $[\frac{\pi}{3} , \pi]$.
\\
Definindo então $y:=\sin(x/2)$, concluímos que $dy = \frac{1}{2}\cos{(x/2)} dx \Rightarrow 4\frac{dy}{dx} = 2\cos{(x/2)}$. Assim, substituíndo, obtemos:
$$4\int_{x=\pi/3}^{x=\pi} \frac{1}{y^{-1}+y} dy = 4\int_{x=\pi/3}^{x=\pi} \frac{y}{1+y^2} dy $$
\\
Onde, no último passo, multiplicamos ambos os termos da fração por y, novamente assumindo $y\neq0 \Leftrightarrow x\neq0$. \\ \\ Consequentemente, este integral é fácil de avaliar:
$$4\int_{x=\pi/3}^{x=\pi} \frac{y}{1+y^2} dy = \frac{4}{2}\int_{x=\pi/3}^{x=\pi} \frac{2y}{1+y^2} dy $$
O integrando é claramente $\frac{d}{dy}\ln(y^2+1)$, logo, temos simplesmente:
$$ 2\left[\ln(y^2 + 1) \right]_{x=\frac{\pi}{3}}^{x=\pi} = 2 \left[\ln\left(\sin^2{\frac{\pi}{2} +1}\right) -\ln\left(\sin^2{\frac{\pi}{6} + 1}\right) \right] =$$\\
$$ =2 \left[ \ln(2) - \ln(5/4) \right] = 2\ln\left(\frac{8}{5}\right)$$.
O meu problema é este fator de 2. O passo que eu acho mais "duvidoso" e que possivelmente poderá não estar certo é o passo da mudança de variável, mas mesmo assim acho que fiz tudo corretamente...
\end{document}