\begin
Discover why 18 million people worldwide trust Overleaf with their work.
\documentclass{if-beamer}
% --------------------------------------------------- %
% Presentation info %
% --------------------------------------------------- %
\title[Pesquisa Operacional]{\textbf{Pesquisa Operacional I}}
\subtitle{Programação Linear}
\author[Haron Calegari Fanticelli]{\large \negrito{Haron Calegari Fanticelli}}
\institute[CEFET/RJ]{
\small \textit{Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca} \\
\textit{Uned Itaguaí}
}
\date{\today}
\logo{
\includegraphics[scale=.4, trim={0.5cm 0.5cm 0.5cm 0.5cm}, clip]{horiz_azul_itaguai.png}
}
\subject{Presentation subject} % metadata
%trim={<left> <lower> <right> <upper>}
\graphicspath{{figuras/}}
% --------------------------------------------------- %
% Title + Schedule %
% --------------------------------------------------- %
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
\begin{frame}{Programação}
\tableofcontents
\end{frame}
% --------------------------------------------------- %
% Presentation %
% --------------------------------------------------- %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Recapitulação}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Forma-padrão}
\begin{frame}{Modelo de Otimização}
\begin{minipage}{.49\textwidth}
\begin{itemize}
\item Forma-padrão (HILLIER, 2010):
\end{itemize}
\begin{align*}
\begin{matrix}
\textbf{Maximizar:} & f(\mathbf{x}) & & \\
\textbf{Sujeito a:} & A\mathbf{x} & = & \mathbf{b} \\
\textbf{e:} & \mathbf{x} & \geq & 0
\end{matrix}
\end{align*}
%em que $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots,x_n)^t$, $\mathbf{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)^t$, $f(\mathbf{x})$ é a função que pretendemos maximizar, $A_{m \times n}$ é a matriz de coeficientes, $m$ a quantidade de restrições e $n$ a quantidade de variáveis.
\end{minipage}
\begin{minipage}{.49\textwidth}
\end{minipage}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Modelo de Otimização}
\begin{minipage}{.49\textwidth}
\begin{itemize}
\item Forma-padrão (HILLIER, 2010):
\end{itemize}
\begin{align*}
\begin{matrix}
\textbf{Maximizar:} & f(\mathbf{x}) & & \\
\textbf{Sujeito a:} & A\mathbf{x} & = & \mathbf{b} \\
\textbf{e:} & \mathbf{x} & \geq & 0
\end{matrix}
\end{align*}
\vspace{.8cm}
\begin{itemize}
\item Exemplo:
\end{itemize}
\begin{align*}
\begin{matrix}
\textbf{Maximizar:} & Z & = & 3x_1 & + & 5x_2 \\
\textbf{Sujeito a:} & x_1 & & & \leq & 4 \\
& & & 2x_2 & \leq & 12 \\
& 3x_1 & + & 2x_2 & \leq & 18 \\
\textbf{e:} & & \mathbf{x} & \geq & 0 &
\end{matrix}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.49\textwidth}
\end{minipage}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Método do Gráfico}
\begin{frame}{Modelo de Otimização}
\begin{minipage}{.49\textwidth}
\begin{itemize}
\item Forma-padrão (HILLIER, 2010):
\end{itemize}
\begin{align*}
\begin{matrix}
\textbf{Maximizar:} & f(\mathbf{x}) & & \\
\textbf{Sujeito a:} & A\mathbf{x} & = & \mathbf{b} \\
\textbf{e:} & \mathbf{x} & \geq & 0
\end{matrix}
\end{align*}
\vspace{.8cm}
\begin{itemize}
\item Exemplo:
\end{itemize}
\begin{align*}
\begin{matrix}
\textbf{Maximizar:} & Z & = & 3x_1 & + & 5x_2 \\
\textbf{Sujeito a:} & x_1 & & & \leq & 4 \\
& & & 2x_2 & \leq & 12 \\
& 3x_1 & + & 2x_2 & \leq & 18 \\
\textbf{e:} & & \mathbf{x} & \geq & 0 &
\end{matrix}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.49\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.45]{figuras/fig_wyndor.pdf}
\caption{Gráfico de Região Viável}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Modelo de Otimização}
\begin{minipage}{.49\textwidth}
\begin{itemize}
\item Forma-padrão (HILLIER, 2010):
\end{itemize}
\begin{align*}
\begin{matrix}
\textbf{Maximizar:} & f(\mathbf{x}) & & \\
\textbf{Sujeito a:} & A\mathbf{x} & = & \mathbf{b} \\
\textbf{e:} & \mathbf{x} & \geq & 0
\end{matrix}
\end{align*}
\vspace{.8cm}
\begin{itemize}
\item Exemplo:
\end{itemize}
\begin{align*}
\begin{matrix}
\textbf{Maximizar:} & Z & = & 3x_1 & + & 5x_2 \\
\textbf{Sujeito a:} & x_1 & & & \leq & 4 \\
& & & 2x_2 & \leq & 12 \\
& 3x_1 & + & 2x_2 & \leq & 18 \\
\textbf{e:} & & \mathbf{x} & \geq & 0 &
\end{matrix}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.49\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.45]{figuras/fig_wyndor_Z.pdf}
\caption{Gráfico de Região Viável}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{O Método Simplex}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Introdução}
\begin{frame}{Introdução}
\begin{itemize}
\item Proposto em 1947 por George B. Dantzig;
\item 2000: Reconhecido como um dos 10 algoritmos mais importantes do século 20 (IEEE);
\end{itemize}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.3]{figuras/artigo_dantzig.png}
\end{figure}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Forma Tabular (Algoritmo)}
\begin{frame}{Forma Tabular do Simplex}
\begin{itemize}
\item \negrito{Config 01:} Colocar o modelo na forma padrão;
\end{itemize}
\begin{align*}
\begin{matrix}
\textbf{Maximizar:} & Z & = & 3x_1 & + & 5x_2 & & \\
\textbf{Sujeito a:} & & & x_1 & & & \leq & 4 \\
& & & & & 2x_2 & \leq & 12 \\
& & & 3x_1 & + & 2x_2 & \leq & 18 \\
\textbf{e:} & & & & \mathbf{x} & \geq & 0 &
\end{matrix}
\end{align*}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Forma Tabular do Simplex}
\begin{itemize}
\item \negrito{Config 01:} Colocar o modelo na forma padrão (Variáveis de Folga);
\end{itemize}
\begin{align*}
\begin{matrix}
\textbf{Maximizar:} & Z = 3x_1 + 5x_2 + 0f_1 + 0f_2 + 0f_3 \\
\textbf{Sujeito a:} &
\end{matrix}
\end{align*}
\vspace{-.6cm}
\begin{align*}
\begin{matrix}
x_1 & & + f_1 & & & = & 4 \\
& 2x_2 & & + f_2 & & = & 12 \\
3x_1 & + 2x_2 & & & + f_3 & = & 18
\end{matrix}
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{matrix}
\textbf{e:} & \mathbf{x} \geq 0 & \mathbf{f} \geq 0
\end{matrix}
\end{align*}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Forma Tabular do Simplex}
\begin{itemize}
\item \negrito{Config 01:} Colocar o modelo na forma padrão (Variáveis de Folga);
\item \negrito{Config 02:} Colocar a função objetivo Z = 0;
\end{itemize}
\begin{align*}
\begin{matrix}
\textbf{Maximizar:} & Z - 3x_1 - 5x_2 - 0f_1 - 0f_2 - 0f_3 = 0 \\
\textbf{Sujeito a:} &
\end{matrix}
\end{align*}
\vspace{-.6cm}
\begin{align*}
\begin{matrix}
x_1 & & + f_1 & & & = & 4 \\
& 2x_2 & & + f_2 & & = & 12 \\
3x_1 & + 2x_2 & & & + f_3 & = & 18
\end{matrix}
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{matrix}
\textbf{e:} & \mathbf{x} \geq 0 & \mathbf{f} \geq 0
\end{matrix}
\end{align*}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Forma Tabular do Simplex}
\begin{itemize}
\item \negrito{Config 01:} Colocar o modelo na forma padrão (Variáveis de Folga);
\item \negrito{Config 02:} Colocar a função objetivo Z = 0;
\item \negrito{Config 03:} Tabular as variáveis;
\item \negrito{Config 04:} Variáveis Básicas = 0 / Solução Inicial na Origem;
\end{itemize}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{c|ccccccc}
\hline
VB & $Z$ & $x_1$ & $x_2$ & $f_1$ & $f_2$ & $f_3$ & $=$ \\
\hline
$Z$ & 1 & -3 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
$f_1$ & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 \\
$f_2$ & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 12 \\
$f_3$ & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 & 18 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Forma Tabular do Simplex}
\negrito{1ª Iteração}
\begin{itemize}
\item \negrito{Passo 01:} Coluna Pivô (Objetivo) - Escolher Menor valor (negativo);
\end{itemize}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{c|ccccccc}
\hline
VB & $Z$ & $x_1$ & $x_2$ & $f_1$ & $f_2$ & $f_3$ & $=$ \\
\hline
$Z$ & 1 & -3 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
$f_1$ & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 \\
$f_2$ & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 12 \\
$f_3$ & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 & 18 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Forma Tabular do Simplex}
\negrito{1ª Iteração}
\begin{itemize}
\item \negrito{Passo 01:} Coluna Pivô (Objetivo) - Escolher Menor valor (negativo);
\item \negrito{Passo 02:} Linha Pivô (Restrições) - Escolher Menor Razão (positivo);
\end{itemize}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{c|cc >{\columncolor[HTML]{CBCEFB}}c cccc}
\hline
VB & $Z$ & $x_1$ & $x_2$ & $f_1$ & $f_2$ & $f_3$ & $=$ \\
\hline
$Z$ & 1 & -3 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
$f_1$ & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 \\
$f_2$ & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 12 \\
$f_3$ & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 & 18 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Forma Tabular do Simplex}
\textcolor{airforceblue}{\textbf{1ª Iteração}}
\begin{itemize}
\item \negrito{Passo 01:} Coluna Pivô (Objetivo) - Escolher Menor valor (negativo);
\item \negrito{Passo 02:} Linha Pivô (Restrições) - Escolher Menor Razão (positivo);
\item \negrito{Passo 03:} Fazer a troca de variáveis - Operações Elementares;
\end{itemize}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{cc|cc >{\columncolor[HTML]{CBCEFB}}c cccc}
& & & & $\downarrow$ & & & & \\
\hline
& VB & $Z$ & $x_1$ & $x_2$ & $f_1$ & $f_2$ & $f_3$ & $=$ \\
\hline
& $Z$ & 1 & -3 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
& $f_1$ & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 \\
\rowcolor[HTML]{CBCEFB}
$\leftarrow$ & $f_2$ & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 12 \\
& $f_3$ & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 & 18 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Forma Tabular do Simplex}
\negrito{1ª Iteração}
\begin{itemize}
\item \negrito{Passo 01:} Coluna Pivô (Objetivo) - Escolher Menor valor (negativo);
\item \negrito{Passo 02:} Linha Pivô (Restrições) - Escolher Menor Razão (positivo);
\item \negrito{Passo 03:} Fazer a troca de variáveis - Operações Elementares;
\item \negrito{Passo 04:} Critério de Parada - Função objetivo não possuir valores negativos;
\end{itemize}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{c|ccccccc}
\hline
VB & $Z$ & $x_1$ & $x_2$ & $f_1$ & $f_2$ & $f_3$ & $=$ \\
\hline
$Z$ & 1 & -3 & 0 & 0 & 2.5 & 0 & 30 \\
$f_1$ & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 \\
$x_2$ & 0 & 0 & 1 & 0 & 0.5 & 0 & 6 \\
$f_3$ & 0 & 3 & 0 & 0 & -1 & 1 & 6 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Exemplo}
\begin{frame}{Forma Tabular do Simplex}
\negrito{2ª Iteração}
\begin{itemize}
\item \negrito{Passo 01:} Coluna Pivô (Objetivo) - Escolher Menor valor (negativo);
\item \negrito{Passo 02:} Linha Pivô (Restrições) - Escolher Menor Razão (positivo);
\item \negrito{Passo 03:} Fazer a troca de variáveis - Operações Elementares;
\item \negrito{Passo 04:} Critério de Parada - Função objetivo não possuir valores negativos;
\end{itemize}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{c|ccccccc}
\hline
VB & $Z$ & $x_1$ & $x_2$ & $f_1$ & $f_2$ & $f_3$ & $=$ \\
\hline
$Z$ & 1 & 0 & 0 & 0 & 1.5 & 1 & 36 \\
$f_1$ & 0 & 0 & 0 & 1 & 0.33 & -0.33 & 2 \\
$x_2$ & 0 & 0 & 1 & 0 & 0.5 & 0 & 6 \\
$x_1$ & 0 & 1 & 0 & 0 & -0.33 & 0.33 & 2 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Forma Tabular do Simplex}
\negrito{2ª Iteração}
\begin{itemize}
\item \negrito{Passo 01:} Coluna Pivô (Objetivo) - Escolher Menor valor (negativo);
\item \negrito{Passo 02:} Linha Pivô (Restrições) - Escolher Menor Razão (positivo);
\item \negrito{Passo 03:} Fazer a troca de variáveis - Operações Elementares;
\item \negrito{Passo 04:} Critério de Parada - Função objetivo não possuir valores negativos;
\end{itemize}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{c|ccccccc}
\hline
VB & $Z$ & $x_1$ & $x_2$ & $f_1$ & $f_2$ & $f_3$ & $=$ \\
\hline
$Z$ & 1 & 0 & 0 & 0 & 1.5 & 1 & 36 \\
$f_1$ & 0 & 0 & 0 & 1 & 0.33 & -0.33 & 2 \\
\rowcolor[HTML]{CBCEFB}
$x_2$ & 0 & 0 & 1 & 0 & 0.5 & 0 & 6 \\
\rowcolor[HTML]{CBCEFB}
$x_1$ & 0 & 1 & 0 & 0 & -0.33 & 0.33 & 2 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\negrito{Solução Ótima:} $\mathbf{x} = (2,6)$ e $Z = 36$
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Atividade de Aprendizagem}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Atividade de Aprendizagem}
\begin{minipage}[t]{.49\textwidth}
\begin{itemize}
\justifying
\item \textbf{(1)} Um certo modelo de programação linear envolvendo duas atividades possui a região de soluções viáveis indicada a seguir.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.35]{figuras/exerc_4.1-3.pdf}
\end{figure}
\end{itemize}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{.49\textwidth}
\justifying
O objetivo é maximizar o lucro total das duas atividades. O lucro unitário para a atividade 1 é de US\$ 1.000 e o lucro unitário para a atividade 2 é de US\$ 2.000.
\begin{itemize}
\justifying
\item \textbf{(a)} Calcule o lucro total para cada solução de pontos extremos. Use esta informação para encontrar uma solução ótima.
\item \textbf{(b)} Use os conceitos de solução do Método Simplex para identificar a sequência de soluções que seriam examinados pelo método até chegar a solução ótima.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Atividade de Aprendizagem}
\begin{itemize}
\item \textbf{(2)} Pelo método simplex, passo a passo, solucione o problema a seguir:
\begin{align*}
\begin{matrix}
\text{Maximizar} & Z = 4x_1 + 3x_2 + 6x_3 \\
\text{Sujeito a} & 3x_1 + x_2 + 3x_3 \leq 30 \\
& 2x_1 + 2x_2 + 3x_3 \leq 40 \\
\text{e} & x_1 \geq 0 \text{, } x_2 \geq 0 \text{, } x_3 \geq 0
\end{matrix}
\end{align*}
\item \textbf{(3)} Descreva graficamente o que o método simplex faz passo a passo para solucionar o problema a seguir:
\begin{align*}
\begin{matrix}
\text{Maximizar} & Z = 2x_1 + 3x_2 \\
\text{Sujeito a} & -3x_1 + x_2 \leq 1 \\
& 4x_1 + 2x_2 \leq 20 \\
& 4x_1 - x_2 \leq 10 \\
& -x_1 + 2x_2 \leq 5 \\
\text{e} & x_1 \geq 0 \text{, } x_2 \geq 0
\end{matrix}
\end{align*}
\end{itemize}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Referências e Próxima Aula}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{Referências e Próxima Aula}
\begin{itemize}
\item HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. \textbf{Introdução à Pesquisa Operacional.} Porto Alegre: Bookman, 2010.
\item TAHA, Hamdy A. \textbf{Pesquisa Operacional.} São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
\end{itemize}
\begin{block}{Próxima Aula}
\begin{itemize}
\item Empate para a Coluna Pivô (Variável Básica que Entra);
\item Empate para a Linha Pivô (Variável Básica que Sai);
\item Nenhuma Linha Pivô (Variável Básica que Sai) - Z Ilimitado;
\item Soluções Ótimas Múltiplas.
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{
\usebackgroundtemplate{\includegraphics[width=\paperwidth]{obrigado.jpg}}
\begin{frame}[plain]
\end{frame}
}
\end{document}