Introducción a la teoría del error
Author:
Liliana Guzmán
Last Updated:
8 anni fa
License:
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract:
Guía de presentación de trabajos
\begin
Discover why over 20 million people worldwide trust Overleaf with their work.
Guía de presentación de trabajos
\begin
Discover why over 20 million people worldwide trust Overleaf with their work.
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{paracol}
\usepackage{vmargin} % Administrar márgenes
\setpapersize{A4} % Definir tamaño del papel
\setmargins{2.5cm} % Margen izquierdo
{1cm} % Margen superior
{16.5cm} % Área de impresión horizontal
{23.42cm} % Area de impresión vertical
{15mm} % Encabezado
{5mm} % Espacio entre el encabezado y el texto
{10pt} % Pie de página
{3mm} % Espacio entre el pie de página y el texto
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{natbib}
\fancypagestyle{plain}{
\fancyhead[r]{\textbf{Departamento de Ciencias B\'asicas\\Operacional y num\'erico\\ \date{\today}}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
}
\lhead{
\begin{picture}(0,0)
\put(0,0){\includegraphics[scale=1]{./logotunja}}
\end{picture}
}
\pagestyle{fancy}
\title{Introducción a la teoría del error}
\author{Elsa Liliana Guzmán Rincón}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
%\renewcommand{\abstractname}{Un modelo matemático simple}
%\begin{abstract}
% Este tipo de preguntas consta de un enunciado y cuatro opciones de respuesta (A, B, C, D). Sólo una de estas opciones responde correctamente la pregunta. Se reproducen los items con fines exclusivamente académicos y de aprendizaje.
%\end{abstract}
\section{Un modelo matemático simple}
Un modelo matemático se define como una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. Por ejemplo, la Segunda Ley de Newton establece que la razón de cambio del movimiento de un cuerpo, es igual a la fuerza resultante que actúa sobre él.
\begin{equation}
F=ma \label{2newton}
\end{equation}
donde $a$ es la variable independiente, $F$ es la función de fuerza y $m$ es un paramétro de las propiedades del sistema. Despejando $a$ de \eqref{2newton} se obtiene $\displaystyle a=\dfrac{F}{m}$ donde $a$ representa la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir:
\begin{equation}
\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{F}{m} \label{variacion}
\end{equation}
La fuerza neta esta determinada por la atracción de la gravedad ($F_D$) y la atracción por la resistencia del aire ($F_U$), por lo tanto, $F=F_D+F_U$, reemplazando en \eqref{variacion} se obtiene:
\[
\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{F_D+F_U}{m}
\]
donde $F_D=mg$ y $F_U=-cv$, donde $c$ es el coeficiente de arrastre o resistencia, es decir:
\[
\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{mg-cv}{m}
\]
que genera la ecuación diferencial
\begin{equation}
\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{cv}{m} \label{EDO}
\end{equation}
con solución \begin{equation}
v(t)=\dfrac{gm}{c} \left(1-e^{\frac{-c}{m}t} \right) \label{Sol}
\end{equation}
\subsection{Problema del paracaidista}
Un paracaidista con una masa de $68.1 kg$ salta de un globo aerostático fijo. Aplique la ecuación \eqref{Sol} para calcular la velocidad antes de que abra el paracaídas. Considere que el coeficiente de resistencia es igual a $12.5 kg/s$.
Al reemplazar los datos en la ecuación y tabular obtenemos:
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{|c| c|}
\hline
\textbf{$t (s)$} & \textbf{$v (m/s)$}\\
\hline
0 & 0.00\\
\hline
2 & 16.40\\
\hline
4 & 27.77\\
\hline
6 & 35.64\\
\hline
8 & 41.10\\
\hline
10 & 44.87\\
\hline
12 & 47.49\\
\hline
$\infty$ & 53.39\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\subsection{Solución numérica}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{op1}
\end{figure}
Utilizando el concepto de la pendiente, la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo se puede aproximar mediante
\begin{equation}
\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{\delta v}{\delta t}=\dfrac{v(t_{i+1})-v(t_i)}{t_{i+1}-t_i}
\end{equation}
que al reemplazarlo en \eqref{EDO}, tenemos
\[
\dfrac{v(t_{i+1})-v(t_i)}{t_{i+1}-t_i}=g-\dfrac{cv(t_i)}{m}
\]
y al despejar $v(t_{i+1})$ se obtiene
\begin{equation}
v(t_{i+1})=v(t_i)+\left[g-\dfrac{c}{m}v(t_i) \right](t_{i+1}-t_i) \label{euler}
\end{equation}
Esta aproximación se conoce como \textbf{método de Euler}, donde $v(t_{i+1})$ corresponde al \textbf{valor nuevo}, $g-\dfrac{c}{m}v(t_i)$ es la \textbf{pendiente}, el \textbf{tamaño de paso} está dado por $t_{i+1}-t_i$ y $v(t_i)$ corresponde al \textbf{valor anterior}.
Usando la \eqref{euler} y los datos para el problema del paracaidista obtenemos:
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{|c| c|}
\hline
\textbf{$t (s)$} & \textbf{$v (m/s)$}\\
\hline
0 & 0.00\\
\hline
2 & 19.60\\
\hline
4 & 32.00\\
\hline
6 & 39.85\\
\hline
8 & 44.82\\
\hline
10 & 47.97\\
\hline
12 & 49.96\\
\hline
$\infty$ & 53.39\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\bibliographystyle{agsm}
\bibliography{Chapra}
\nocite{Chapra}
\end{document}