Ce document regroupe les codes TIKZ des figures utilisées pour le cours "Oscillateurs Mécaniques" situé à la page http://femto-physique.fr/mecanique/meca_C4.php
\begin
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% !TEX encoding = UTF-8 Unicode
% J.Roussel
% MAJ : 2014-06-03
%-------------------------------------------
\documentclass[11pt]{article}
\input{styles_meca}
\title{Figures TIKZ du cours sur les oscillateurs}
\begin{document}
%------ oscillations harmoniques------
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\def \xLabel {$t$}; % legende sur x
\def \yLabel {$x(t)$}; % legende sur y
\def \xmin{-0.1};
\def \xmax{7};
\def \ymin{-2.5};
\def \ymax{2.5};
\draw[smooth,color=blue, variable=\x, samples at={0,0.1,...,7}] plot (\x,{2*sin(\x r*pi)}) ;
\draw[->] (\xmin,0) -- (\xmax,0) node[below] {\xLabel};
\draw[->] (0,\ymin) -- (0,\ymax) node[right] {\yLabel};
\foreach \y/\ytext in {-2/-A,2/A}
\draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\draw[|<->|] (2.5,2.1)--++(2,0) node[pos=0.5, above]{$T_{0}=\frac{2\pi}{\omega_{0}}$};
\end{tikzpicture}
%============================================================
% Sujet : Représentation des oscillations en régime pseudo-périodique d'un
% pendule élastique ainsi que de l'évolution de son énergie mécanique.
% On a choisit une masse $m=[1]{kg}$, une de pulsation propre $\omega_{0}=[1]{rad.s^{-1}}$
% et un facteur de qualité $Q=10$. Les conditions initiales sont $x(0)=0$ et $\dot x(0)=[1,5]{SI}$.
%============================================================
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
name=plot1,
height=7cm,
width=7cm,
axis lines=middle,% bottom,top
inner axis line style={=>},
xlabel={$t$ (s)},
ylabel={$x$},
xtick={1,2,3,4},
xticklabels={10,20,30,40},
ytick={-1,1},
yticklabels={-1,1},
ymin=-2,
ymax=2,
xmin=0,
xmax=4.8,]
\addplot+[mark=none] table[x index=0,y index=1]{simu/rk4harmonique-xt-Q10.txt};
\addplot+[mark=none,color=gray,domain=0:4,samples=100]{1.77*exp(-0.51*x)};
\addplot+[mark=none,color=gray,domain=0:4,samples=100]{-1.77*exp(-0.51*x)};
\end{axis}
\begin{axis}[
name=plot2,
at={($(plot1.east)+(1cm,0)$)},
anchor=west,
height=7cm,
width=7cm,
axis lines=middle,% bottom,top
inner axis line style={=>},
xlabel={$t$ (s)},
ylabel={$E_{\rm m}=\frac{1}{2}kx^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}$},
xtick={1,2,3,4},
xticklabels={10,20,30,40},
ytick={4},
yticklabels={1},
ymin=0,
ymax=4.4,
xmin=0,
xmax=4.8,]
\addplot+[mark=none] table[x index=0,y index=1]{simu/rk4harmonique-Et-Q10.txt};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
%============================================================
% Représentation des oscillations en régime apériodique d'un pendule élastique
% ainsi que de l'évolution de son énergie mécanique. On a choisit une masse
% $m=[1]{kg}$, une de pulsation propre $\omega_{0}=[1]{rad.s^{-1}}$ et un facteur
% de qualité $Q=\frac{1}{10}$. Les conditions initiales sont $x(0)=0$ et $\dot x(0)=[1,5]{SI}$.
%============================================================
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
name=plot1,
height=7cm,
width=7cm,
axis lines=middle,% bottom,top
inner axis line style={=>},
xlabel={$t$ (s)},
ylabel={$x$},
xtick={2,4},
xticklabels={10,20},
ytick={2},
yticklabels={$10^{-1}$},
ymin=0,
ymax=4,
xmin=0,
xmax=4.8,]
\addplot+[mark=none] table[x index=0,y index=1]{simu/rk4harmonique-xt-aperiodique.txt};
\end{axis}
\begin{axis}[
name=plot2,
at={($(plot1.east)+(1cm,0)$)},
anchor=west,
height=7cm,
width=7cm,
axis lines=middle,% bottom,top
inner axis line style={=>},
xlabel={$t$ (s)},
ylabel={$E_{\rm m}=\frac{1}{2}kx^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}$},
xtick={0.8,1.6,2.4,3.2,4},
xticklabels={2,4,6,8,10},
ytick={2},
yticklabels={$10^{-1}$},
ymin=0,
ymax=4,
xmin=0,
xmax=4.8,]
\addplot+[mark=none] table[x index=0,y index=1]{simu/rk4harmonique-Et-aperiodique.txt};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
%============================================================
% Représentation des oscillations en régime critique d'un pendule élastique
% ainsi que de l'évolution de son énergie mécanique. On a choisit une masse
% $m=[1]{kg}$, une de pulsation propre $\omega_{0}=[1]{rad.s^{-1}}$ et un
% facteur de qualité $Q=0,5$. Les conditions initiales sont $x(0)=0$ et $\dot x(0)=[1,5]{SI}$.
%============================================================
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
name=plot1,
height=7cm,
width=7cm,
axis lines=middle,% bottom,top
inner axis line style={=>},
xlabel={$t$ (s)},
ylabel={$x$},
xtick={1,2,3,4},
xticklabels={10,20,30,40},
ytick={2},
yticklabels={0.5},
ymin=0,
ymax=4,
xmin=0,
xmax=4.8,]
\addplot+[mark=none] table[x index=0,y index=1]{simu/rk4harmonique-xt-critique.txt};
\end{axis}
\begin{axis}[
name=plot2,
at={($(plot1.east)+(1cm,0)$)},
anchor=west,
height=7cm,
width=7cm,
axis lines=middle,% bottom,top
inner axis line style={=>},
xlabel={$t$ (s)},
ylabel={$E_{\rm m}=\frac{1}{2}kx^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}$},
xtick={1,2,3,4},
xticklabels={10,20,30,40},
ytick={4},
yticklabels={1},
ymin=0,
ymax=4,
xmin=0,
xmax=4.8,]
\addplot+[mark=none] table[x index=0,y index=1]{simu/rk4harmonique-Et-critique.txt};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
%============================================================
% Date : 21 Oct. 2010 Sujjet : pendule élastique
%============================================================
\begin{tikzpicture} [scale=1, decoration={coil,aspect=0.3,segment length=3mm,amplitude=3mm}, ressort/.style={thick,black,smooth,}]
\colorlet{darkblue}{blue!50!black};
\draw[bloc] (4,-0.5) rectangle (5,0.5);
\draw (0,0)--(0.5,0);
\draw[ressort,decorate] (0.5,0)--(4,0) ;
\fill [pattern=north east lines] (6,-0.5)--++(-6,0)--++(0,1)--++(-0.3,0)--++(0,-1.3)--++(6.3,0)-- cycle;
\draw[thick,color=gray](6,-0.5)--++(-6,0)--++(0,1);
\draw[force] (4,0) --++(-2,0) node[midway, above=3mm]{$\overrightarrow{T}$};
\draw[color=gray] (0,0.75)--++(0,0.5);
\draw[->,color=gray] (0,0.9)--++(2,0) node[pos=0.4,fill=white]{$\ell_{0}$};
\draw[->,color=gray] (0,1.1)--++(4,0) node[pos=0.7,fill=white]{$\ell_{0}+x$};
\end{tikzpicture}
%============================================================
% Date : 21 Oct. 2010 Sujjet : pendule élastique en régime forcé
%============================================================
\begin{tikzpicture}[scale=1.2, decoration={coil,aspect=0.3,segment length=3mm,amplitude=3mm}, ressort/.style=
{thick,gray,smooth,}]
\draw[bloc] (4,-0.5) rectangle (5,0.5);
\draw[ressort,decorate] (0.5,0)--(4,0) ;
\fill [pattern=north east lines] (6,-0.5)--++(-8,0)--++(0,-0.3)--++(8,0)-- cycle;
\draw[thick,color=gray](6,-0.5)--++(-8,0);
\draw[thin,color=gray] (-1,-0.5)--++(0,1);
\draw[color=gray] (0,0)--++(0,1);
\draw[->,color=gray] (0,0.75)--++(4,0) node[pos=0.4,fill=white]{$\ell(t)$};
\draw[->,color=gray] (-1,0.5)--++(1,0) node[above left]{\small $a\cos\omega t$};
\draw[force](0,0)--++(-1.2,0)node[left]{$\overrightarrow{f}_{\!\!\textrm{op}}$};
\draw[force](0,0)--++(1.2,0)node[right,fill=white]{$\overrightarrow{T'}$};
\draw (0,0)node{$\bullet$}node[below=5pt]{E}--(0.5,0);
\end{tikzpicture}
%============================================================
% Potentiel de Lenard-Jones modélisant l'interaction entre deux atomes.
% Le puits de potentiel peut s'approcher au voisinage du minimum, par une approximation harmonique.
%============================================================
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\def \xLabel {$x$};
\def \yLabel {$E_{\rm p}$};
\def \xmin{1};
\def \xmax{4.5};
\def \ymin{-1};
\def \ymax{2};
\draw[color=blue] plot file {simu/lennard-jones.txt} ;
\draw[smooth,color=gray, variable=\x, samples at={0.75,0.85,...,1.3}] plot ({2*\x},{36*(\x-1)^2-1});
\draw[->] (\xmin,0) -- (\xmax,0) node[below] {\xLabel};
\draw[->] (\xmin,\ymin) -- (\xmin,\ymax) node[below right] {\yLabel};
\draw (2.6,1) node[right]{$E_{\rm p}=E_{\rm p,min}+\frac{1}{2}k(x-x_{\rm eq})^{2}$};
\end{tikzpicture}
% approximation harmonique du pendule simple
\begin{tikzpicture} [scale=0.8]
\begin{scope}
\coordinate (O) at (0, 0);
\coordinate (M) at (-55:5);
\draw[thick] (O)--(M);
\draw[thick,->] (0,-1.2) arc(-90:-55:1.2) ;
\draw (-90:1.5) node[right]{$\theta(t)$} (-57:2.5) node[above right]{$\ell$};
\draw[vecteur] (M)--++({cos(55)},{-sin(55)}) node[below right ]{$\overrightarrow{u_r}$};
\draw[vecteur] (M)--++({sin(55)},{cos(55)}) node[above right ]{$\overrightarrow{u_{\theta}}$};
\draw[force] (M)--(-55:3) node[below left]{$\overrightarrow{T}$};
\draw[force] (M)--++(0,-2) node[right]{$\overrightarrow{P}=m \overrightarrow{g}$};
\draw[bloc] (M) circle(0.15) node[black,right=5pt]{M($\ell$,$\theta$)};
\draw [ultra thick,gray] (-1,0)--(1,0);
\draw [thin,gray] (0,0.5) --(0,-6);
\draw[vecteur] (-1,-1)--++(0,-1) node[midway,right]{$\overrightarrow{g}$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=9cm,yshift=-3cm]
\def \xLabel {$\theta$}; % legende sur x
\def \yLabel {$E_{\rm p}$}; % legende sur y
\def \xmin{-3.5};
\def \xmax{3.5};
\def \ymin{-3};
\def \ymax{3};
\def \stepGrid{0.5cm}; % pas de la grille
\def \titleWidth {7cm}; % largeur de la vignette de titre
\draw[->] (\xmin,0) -- (\xmax,0) node[above=2pt] {\xLabel};
\draw[->] (0,\ymin) -- (0,\ymax) node[below right] {\yLabel};
\draw[style=help lines,step=\stepGrid,color=gray,opacity=0.5] (\xmin,\ymin) grid (\xmax,\ymax);
\foreach \x/\xtext in {-pi/-\pi,pi/\pi}
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-2/-mg\ell,2/mg\ell}
\draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\ytext$};
\draw[thick,color=blue, variable=\x, samples at={\xmin,-3.4,...,\xmax}] plot ({\x}, {-2*cos(\x r)}) ;
\draw[thick,color=purple, variable=\x, samples at={-1.9,-1.8,...,1.9}] plot ({\x}, {\x*\x-2}) ;
\draw[purple] (1.6,2.5) --++(0.5,0) node[text width=2cm, right,black]{\small approximation harmonique};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
%------ Réponse fréquentielle de l'amplitude d'un oscillateur vis à vis d'une excitation sinusoïdale.
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\def \xLabel {Fréquence réduite $\frac{\omega}{\omega_{0}}$};
\def \yLabel {Amplitude réduite $\frac{A(\omega)}{a}$};
\def \xMin{0};
\def \xMax{2.5};
\def \yMin{0};
\def \yMax{8.5};
\begin{axis}[width=9cm,height=9cm,xlabel={\xLabel},ylabel={\yLabel},%grid=major,
grid=both,
axis x line=bottom,axis y line=left,%enlarge x limits=false,
try min ticks=2,
xmin=\xMin,xmax=\xMax,ymin=\yMin,ymax=\yMax,]
\foreach \facteurQ in {0.1,0.71,2,4,8}
{
\addplot+[mark=none,color=blue,domain=\xMin:\xMax,samples=200]{1/sqrt((1-x*x)*(1-x*x)+(x/\facteurQ)*(x/
\facteurQ))};
}
\draw (axis cs:1,0.1) node[ above]{\tiny $Q=1/10$};
\draw (axis cs:1,0.707) node[above]{\tiny $Q=\frac{\sqrt{2}}{2}$};
\draw (axis cs:1,2) node[above]{\tiny $Q=2$};
\draw (axis cs:1,4) node[above]{\tiny $Q=4$};
\draw (axis cs:1,8) node[above]{\tiny $Q=8$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
%------ Évolution de l'amplitude de la vitesse en fonction de la fréquence pour différentes valeur du facteur de qualité.
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\begin{scope}
\begin{axis}[
width=9cm,
height=9cm,
title={Réponse fréquentielle en vitesse},
xlabel={Fréquence réduite $\frac{\omega}{\omega_{0}}$},
ylabel={Vitesse réduite $\frac{V}{a\omega_{0}}$},
%grid=major,
grid=both,
axis x line=bottom,
axis y line=left,%enlarge x limits=false,
try min ticks=2,
xmin=0,
xmax=2.5,
ymin=0,
ymax=8.5]
\foreach \facteurQ in {1,2,4,8}
{\addplot+[mark=none,color=blue,domain=0:2.5,samples=200]{\facteurQ/sqrt(1+(\facteurQ*(1/x-x))*(\facteurQ*(1/x-x)))};}
\draw (axis cs:1,1) node[above]{\tiny $Q=1$};
\draw (axis cs:1,2) node[above]{\tiny $Q=2$};
\draw (axis cs:1,4) node[above]{\tiny $Q=4$};
\draw (axis cs:1,8) node[above]{\tiny $Q=8$};
\end{axis}
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=10cm]
\begin{axis}[
width=6cm,
height=9cm,
grid=none,
title={Bande passante},
enlarge x limits=false,
xmin=0.8,
xmax=1.2,
ymin=0,
ymax=9,
xtick=\empty,
ytick=\empty,
extra y ticks={8,5.66},
extra y tick labels={$V_{\rm max}$,$\frac{V_{\rm max}}{\sqrt{2}}$},
extra y tick style={grid=major},]
\addplot+[mark=none,color=blue,domain=0.8:1.2,samples=200]{8/sqrt(1+(8*(1/x-x))*(8*(1/x-x)))};
\addplot+[mark=none,color=blue,fill,domain=0.939:1.064]{8/sqrt(1+(8*(1/x-x))*(8*(1/x-x)))} \closedcycle;
\draw (axis cs:1,4) node[rotate=90,right,color=white] {\small Bande Passante};
\end{axis}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
%============================================================
% Réponse fréquentielle de la vitesse d'un oscillateur vis à vis d'une excitation sinusoïdale.
%============================================================
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\def \xLabel {$\frac{\omega}{\omega_{0}}$};
\def \yLabel {$\frac{V(\omega)}{a\omega_{0}}$};
\def \xmin{-0.1};
\def \xmax{7};
\def \ymin{-0.1};
\def \ymax{9};
\draw[color=gray,opacity=0.5] (\xmin,\ymin) grid[xstep=2, ystep=5] (\xmax,\ymax);
\draw[very thin,color=gray,opacity=0.5] (\xmin,\ymin) grid[xstep=1, ystep=1] (\xmax,\ymax);
\foreach \facteurQ/\color in {3/red,8/blue}
{\draw[smooth,color=blue,\color, variable=\x, samples at={0.05,0.06,...,3}] plot ({2*\x},{1/sqrt(1/(\facteurQ*\facteurQ)+(\x-1/\x)*(\x-1/\x))}) ;
\draw (2,\facteurQ) node[right]{\tiny $Q=\facteurQ$};
}
\fill[fill=gray!20,draw=black,opacity=0.5] ({(-1+sqrt(37))/3},0) --++(0,{1.5*sqrt(2)}) -- plot[domain={5/6}:{7/6}] ({2*\x},{1/sqrt(1/9+(\x-1/\x)*(\x-1/\x))}) -- ({(1+sqrt(37))/3},0) -- cycle;
\draw[->] (\xmin,0) -- (\xmax,0) node[below] {\xLabel} node[above]{fr\'equence r\'eduite};
\draw[->] (0,\ymin) -- (0,\ymax) node[below right] {\yLabel} node[above,pos=0.75,rotate=90]{Vitesse r\'eduite };
\foreach \x in {0,1,2,3}
\draw[shift={(2*\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$};
\foreach \y in {1,5}
\draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$};
\draw (2,0) node[rotate=90,right] {\small Bande Passante};
\end{tikzpicture}
%==========================================================
% Pendule simple : évolution de sa période T en unité de $T_{0}$ (période dans l'approximation harmonique)
% en fonction de l'amplitude des oscillations.
%=========================================================
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\begin{axis}[
xlabel={angle $\theta_{\textrm{max}}$ (°)},
ylabel={$T/T_{0}$},
extra x ticks={180},
extra x tick labels={180},
extra x tick style={grid=major},
grid=major,
axis x line=bottom,
axis y line=left,
xmin=0,
xmax=190,
ymin=0,
ymax=3.9,
]
\addplot+[mark=none] table[x=angle,y=T]{simu/periodes-pendule.txt};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
% ===========================================================
% Date :2013-09-05 sujet : oscillateur harmonique pour Pierre
% ===========================================================
\begin{tikzpicture} [scale=1.5, decoration={coil,aspect=0.3,segment length=3mm,amplitude=3mm}, ressort/.style=
{thick,black,smooth,}]
\draw[bloc] (4,-0.5) rectangle (5,0.5);
\draw (0,0)--(0.5,0);
\draw[ressort,decorate] (0.5,0)--(4,0) ;
\fill [pattern=north east lines] (6,-0.5)--++(-6,0)--++(0,1)--++(-0.3,0)--++(0,-1.3)--++(6.3,0)-- cycle;
\draw[thick,color=gray](6,-0.5)--++(-6,0)--++(0,1);
\draw[force] (4,0) --++(-2,0) node[midway, above=3mm]{$\overrightarrow{T}$};
\draw[force] (4.5,-0.5) --++(-1,0) node[left]{$\overrightarrow{f}$};
\draw[color=gray] (0,0.75)--++(0,0.5);
\draw[->,color=gray] (0,0.9)--++(2,0) node[pos=0.4,fill=white]{$\ell_{0}$};
\draw[->,color=gray] (0,1.1)--++(4,0) node[pos=0.7,fill=white]{$\ell_{0}+x$};
\end{tikzpicture}
% Potentiel de Morse
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\begin{axis}[
title={Morse : $E_{p}=E_{0}\left(\mathrm{e}^{-2ax}-2\mathrm{e}^{-ax}\right)$ },
xtick=\empty,
extra y ticks={-1,0},
extra y tick labels={$-E_{0}$,0},
extra y tick style={grid=major},
ytick=\empty,
extra x ticks={0},
extra x tick labels={0},
extra x tick style={grid=major},
xlabel={écart à l'équilibre $x$},
ylabel={$E_{\textrm{p}}$},
xmin=-0.5,
xmax=1,
ymin=-1.5,
ymax=4]
\addplot+[mark=none]table[x=x,y=Morse]{simu/potentiels-anharmoniques.txt};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
% ==============================================================
% Date : 2014-08-01
% Solution $x(t)$ de l'oscillateur de Duffing avec $A=1$ et $\omega_{0}=1$.
% Comparaison entre la solution approximative \ref{eq:C6DuffingLindstedt} et la solution
% numérique obtenue par la méthode d'Euler.
% ==============================================================
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\begin{scope}
\begin{axis}[
title={Oscillateur de Duffing : $\epsilon=0,1$},
xlabel={temps},
grid=major,
axis x line=bottom,
axis y line=left,
xmin=0,
xmax=20,
ymin=-1.5,
ymax=1.3,
legend style = {at={(0.5,0.02)},anchor=south},legend columns=2]
\addplot+[mark=none,dashed] table[x=temps,y=x]{simu/oscillateurDuffing0.1.txt};
\addlegendentry{\small Euler };
\addplot+[mark=none] table[x=temps,y=approxLindstedt]{simu/oscillateurDuffing0.1.txt};
\addlegendentry{\small Lindstedt (ordre un) };
\end{axis}
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=8cm]
\begin{axis}[
title={Oscillateur de Duffing : $\epsilon=1$},
xlabel={temps},
grid=major,
axis x line=bottom,
axis y line=left,
xmin=0,
xmax=20,
ymin=-1.5,
ymax=1.3,
legend style = {at={(0.5,0.02)},anchor=south},legend columns=2]
\addplot+[mark=none,dashed] table[x=temps,y=x]{simu/oscillateurDuffing1.txt};
\addlegendentry{\small Euler };
\addplot+[mark=none] table[x=temps,y=approxLindstedt]{simu/oscillateurDuffing1.txt};
\addlegendentry{\small Lindstedt (ordre un)};
\end{axis}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}